Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Und so müsste man eigentlich alle reellen Zahlen erreichen in dem

Intervalloein eins, wenn wir davon ausgehen, dass die Menge der reellen

abzählbar und Endliches, müsste das möglich sein.

Ja, gut und das zweite Digitalisierungsargument von Kanto ist nun folgendes, also ich habe hier

natürlich dann unendlich viele natürliche Zahlen, die ich auf unendlich viele reelle

Zahlen abbilde, aber ich kann dann eine reelle Zahl finden, das ist hier mit dem x beschrieben,

dass ich nun wie folgt darstelle. Also die Dezimalbruchdarstellung ist dann eben in 1,

in 2, in 3, in 4 und so weiter. Und die Idee ist nun, dass man sich, um diese erste Ziffer der

Dezimalbruchdarstellung zu definieren, schaut man sich hier die erste Ziffer nach dem Komma der

ersten natürlichen Zahl an, die von der 1 abgebildet wurde, auf die die 1 abgebildet wurde. Wenn das hier

eine 5 ist, dann mache ich daraus eine 4 und wenn das hier irgendwas anderes ist, dann mache ich daraus eine 5.

Das heißt, ich ändere diese erste Ziffer entsprechend ab, sodass die beiden unterschiedlich sind.

Also kann dieses x schon mal nicht mit x1 übereinstimmen. Also wegen der Definition von n1 ist x ungleich x1.

Gut, das Gleiche mache ich jetzt entsprechend die zweite Ziffer nach dem Komma, definiere ich jetzt in

Abhängigkeit von der zweiten Ziffer von x2, also n2,2. Wenn das hier eine 5 ist, definiere ich das hier als eine 4.

Wenn das hier irgendwas anderes ist, definiere ich das hier als eine 5.

Wegen dieser Definition der zweiten Ziffer ist das hier auch nicht x2. Okay? Und so weiter und so fort.

Für die dritte Ziffer schaue ich mir die dritte Zahl x3 an. Dort die dritte Ziffer, wenn das eine 5 ist,

definiere ich n3 als 4, ansonsten ist das 5. Also stimmt die Zahl insgesamt, stimmt x insgesamt auch nicht

wegen der dritten Stelle nicht mit x3 überein. Und so habe ich eine reelle Zahl gefunden.

Das mache ich jetzt für alle nachfolgenden Nachkommastellen. Ich schaue mir die entsprechende Zahl an,

in der Liste, die ich hier habe, die ich über die Projektion angelegt habe, und schaue mir die entsprechende

Stelle in der Nachkommastelle an und verändere die Nachkommastelle einfach, dass sie nicht mit der

jeweiligen Zahl übereinstimmt kann. Und damit stimmt, ist das hier eine reelle Zahl, das in jedem Falle.

Es ist eine Dezimalbruchdarstellung und wir haben gesehen, dass Dezimalbruchdarstellungen Cauchy-Folgen sind.

Cauchy-Folgen konvergieren zwingend aufgrund der topologischen Vollständigkeit in der Menge der reellen Zahlen.

Also ist das hier in jedem Falle eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Stimmt aber mit keiner der obigen

reellen Zahlen aus dieser Liste überein. Von daher haben wir eine reelle Zahl gefunden, die nicht von dieser

angenommenen Projektion gefunden wurde oder getroffen wurde und damit gibt es keine Projektion von den

natürlichen Zahlen auf dieses Intervall 0, 1. Gut, also das nur als zweite Möglichkeit, die Überabzählbarkeit

der reellen Zahlen sich klar zu machen. Und tatsächlich, was ich gerade schon erwähnt hatte, ist dieses

Intervall, das wir uns jetzt angeschaut hatten, gleichmächtig mit der Menge der reellen Zahlen.

Also bislang haben wir erst einmal nur gezeigt, dass dieses Intervall 0, 1 überabzählbar ist, aber es gibt

tatsächlich eine Biaktion, eine ziemlich einfache, beispielsweise diese hier. Hier zeigt man, wenn die Zahlen

sehr klein werden, werden die Bilder sehr, sehr negativ, laufen gegen Minus unendlich, wenn x gegen 0 läuft

und gegen Plus unendlich, wenn x gegen 1 läuft, also wenn die Zahlen nahe über 1 liegen, werden hier die

Bilder sehr, sehr groß. Also insgesamt deckt man den ganzen Bereich der reellen Zahlen ab, hat man hier

also eine Biaktion, das bedeutet, dass die Zahlen in diesem Sinne auch gleichmächtig sind. Es gibt eine

1 zu 1 Beziehung zwischen den reellen Zahlen und den Elementen in dem Intervall hier. Gut, das wollen wir

jetzt abschließen, das Thema über die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Worum es mir heute geht, im

Wesentlichen ist die Approximation oder Annäherung von reellen Zahlen, denn das Problem ist im

Gegensatz zu den irrationalen Zahlen, bei denen hatten wir gesehen, dass sie sich entweder

darstellen als noch endliche Dezimalbrüche, naja, die können wir einfach hinschreiben, oder doch

periodische Dezimalbrüche. Da könnte man auch mit der eingeführten Notation hinschreiben, was ein

Drittel ist, 0,3 und dann Periode oder so etwas, oder sie eben als Bruch darstellen. Bei irrationalen

Zahlen ist es einfach unmöglich, sie tatsächlich hinzuschreiben als Dezimalbruchdarstellung,

im Allgemeinen, dass sie eine unendliche, nicht periodische Dezimalbruchdarstellung sind, wie zum

Beispiel Wurzel 2. Das Einzige, was uns übrig bleibt, ist, dass wir, also mit Wurzel 2 bezeichnen

wir einfach nur die Lösung dieser Gleichung hier, die aufgrund der Vollständigkeit von der Menge